Question

6．網格紙的各小格都是邊長為1的正方形，圖中粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球表面積為（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{16π}{3}$

Answer 1

分析 該幾何體是有一個側面PAC垂直于底面，高為 $\sqrt{3}$，底面是一個等腰直角三角形的三棱錐，這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上，且是等邊三角形PAC的中心，由此能求出這個幾何體的外接球的半徑R，從而能求出這個幾何體的外接球的表面積．

解答 解：由已知中正視圖是一個正三角形，側視圖和俯視圖均為三角形，
可得該幾何體是有一個側面PAC垂直于底面，高為 $\sqrt{3}$，
底面是一個等腰直角三角形的三棱錐，如圖．
則這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上，
且是等邊三角形PAC的中心，
這個幾何體的外接球的半徑R=$\frac{2}{3}$PD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
則這個幾何體的外接球的表面積為S=4πR²=4π×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16π}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．