Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-1+ax，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若?x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）令a=-1，問題轉化為f（x）+lnx-a-1≥0恒成立，令g（x）=f（x）+lnx-a-1，通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調性確定a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-1+a，
（i）a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在R遞增；
（ii）a＜0時，令f′（x）=0，解得：x=ln（-a）+1，
故x＞ln（-a）+1時，f（x）遞增，x＜ln（-a）+1時，f（x）遞減；
綜上，a≥0時，f（x）在R遞增；
a＜0時，f（x）在（ln（-a）+1，+∞）遞增，在（-∞，ln（-a）+1）時遞減；
（2）令a=-1，由（1）得f（x）的最小值是f（1）=0，
故e^x-1-x≥0，即e^x-1≥x，
f（x）+lnx≥a+1恒成立與f（x）+lnx-a-1≥0恒成立等價，
令g（x）=f（x）+lnx-a-1，
即g（x）=e^x-1+a（x-1）+lnx-1，（x≥1），
則g′（x）=e^x-1+$\frac{1}{x}$+a，
①a≥-2時，g′（x）=e^x-1+$\frac{1}{x}$+a≥x+$\frac{1}{x}$+a$≥\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+a=a+2≥0，
∴g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）遞增，
故g（x）≥g（1）=0，
故f（x）+lnx≥a+1恒成立；
②a＜-2時，令h（x）=e^x-1+$\frac{1}{x}$+a，則h′（x）=$\frac{{{x}^{2}e}^{x-1}-1}{{x}^{2}}$，
x≥1時，h′（x）≥0，h（x）遞增，
又h（1）=2+a＜0，h（1-a）=e^1-a-1+$\frac{1}{1-a}$+a≥1-a+$\frac{1}{1-a}$+a=1+$\frac{1}{1-a}$＞0，
∴存在x₀∈（1，1-a），使得h（x₀）=0，
故x∈（1，x₀）時，h（x）＜h（x₀）=0，即g′（x）＜0，
故函數(shù)g（x）在（1，x₀）遞減，x∈（x₀，+∞）時，h（x）＞h（x₀）=0，
即g′（x）＞0，故函數(shù)g（x）在（x₀，+∞）遞增，
∴g（x）min=g（x₀）＜g（1）=0，
即?x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1不恒成立，
綜上，a的范圍是[-2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．