Question

1．已知等比數(shù)列{a_n}中，首項a₁=3，公比q＞1，且3（a_n+2+a_n）-10a_n+1=0（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè){b_n+$\frac{1}{3}$a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項公式和前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用等差數(shù)列的通項公式可得b_n，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）等比數(shù)列{a_n}中，3（a_n+2+a_n）-10a_n+1=0（n∈N^*）．
∴$3{a}_{n}（{q}^{2}+1）$-10a_nq=0，化為：3q²-10q+3=0，q＞1，解得q=3．
∴a_n=3ⁿ．
（2）∵{b_n+$\frac{1}{3}$a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴b_n+$\frac{1}{3}$a_n=1+2（n-1），
∴b_n=-3^n-1+（2n-1）．
∴數(shù)列{b_n}的通項公式和前n項和S_n=$-\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$+$\frac{n（1+2n-1）}{2}$
=$\frac{1}{2}（1-{3}^{n}）$+n²．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．