Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°,∠PBC=90°.

（I）平面PAD與平面PAB是否垂直？并說明理由；

（II）求平面PCD與平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）平面 平面； （Ⅱ） cos∠PEF=.

【解析】

（１）說明，而，，即可說明平面PAD與平面PAB垂直；（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為ｙ軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出,,，進(jìn)而求出, ，計算平面PCD的法向量為，平面ABCD的一個法向量為,代入夾角計算公式即可。

（I）平面 平面；

證明：由題意得且

又，則

則平面,

故平面平面

（Ⅱ）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為ｙ軸建立

空間直角坐標(biāo)系如右圖示，則,,

可得,

設(shè)平面PCD的法向量為,

則， 令x=2得，

又平面ABCD的一個法向量為，

設(shè)平面PCD與平面ABCD所成二面角的大小為θ，顯然為銳角θ，

∴cosθ==.

方法二：過點(diǎn)P作BA的垂線交BA的延長線于點(diǎn)F,過點(diǎn)F 作EF⊥AB,

交CD的延長線于點(diǎn)D.

則∠PEF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角

∵PA=1, ∠PAB=120°, ∴PF=,

又EF=AD=PA= 1，∴PE=,

∴cos∠PEF=.