Question

4．已知a＞0且a≠1，函數(shù)$f（x）={log_a}（{x+1}）+{log_{\frac{1}{a}}}（{3+x}）$，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移兩個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若實數(shù)x滿足g（x）≥0，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用對數(shù)的真數(shù)大于0，列出不等式組求解即可得到函數(shù)的定義域．
（2）利用函數(shù)的圖象變換，以及對數(shù)的性質(zhì)列出不等式求解即可．

解答 （本小題滿分16分）
解：（1）要使函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 3+x＞0\end{array}\right.$…（2分）
解得x＞-1；
所以函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）…（4分）
（2）因為函數(shù)y=g（x）的圖象可由函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移兩個單位后得到，
所以g（x）=f（x-2）
即g（x）=log_a（x-1）-log_a（1+x），…（6分）
又因為g（x）≥0，所以log_a（x-1）≥log_a（1+x），…（8分）
當a＞1時，則$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\ x-1≥1+x\end{array}\right.$，解得x∈∅；…（10分）
當0＜a＜1時，則$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\ x-1≤1+x\end{array}\right.$，解得x＞1…（12分）
綜上：當a＞1時，x的取值范圍為∅；
當0＜a＜1時，x的取值范圍為（1，+∞）…（14分）

點評 本題考查函數(shù)與分析的應(yīng)用，函數(shù)的定義域以及對數(shù)函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．