Question

【題目】已知為橢圓：的右焦點(diǎn)，橢圓上任意一點(diǎn) 到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線：

的距離之比為。

（1）求直線方程；

（2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線、與直線分別相交于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過一定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）和．

【解析】

試題（1）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，利用條件得到的方程，利用等式恒成立問題進(jìn)行求解；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，利用對稱性和平面向量的數(shù)量積為0研究其定點(diǎn)．

試題解析：（1）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，依題意有

∴ 。將代入，并整理得

由點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)知，方程對的均成立。∴ ，且解得。

∴ 直線的方程為

（2）易知直線斜率不為0，設(shè)方程為。

由，得。

設(shè)，，則，。

由，知方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為。

同理，點(diǎn)坐標(biāo)為。

由對稱性，若定點(diǎn)存在，則定點(diǎn)在軸上。設(shè)在以為直徑的圓上。

則。

∴ 。

即，，或。

∴ 以為直徑的圓恒過軸上兩定點(diǎn)和