Question

在一定面積的水域中養(yǎng)殖某種魚類，每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量P是網(wǎng)箱個數(shù)x的一次函數(shù)，如果放置4個網(wǎng)箱，則每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量為16噸；如果放置7個網(wǎng)箱，則每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量為10噸，由于該水域面積限制，最多只能放置10個網(wǎng)箱．
（1）試問放置多少個網(wǎng)箱時，總產(chǎn)量Q最高？
（2）若魚的市場價為m萬元/噸，養(yǎng)殖的總成本為5lnx+1萬元．
（i）當m=0.25時，應(yīng)放置多少個網(wǎng)箱才能使總收益y最大？
（ii）當m≥0.25時，求使得收益y最高的所有可能的x值組成的集合．

Answer 1

解：（1）設(shè)p=ax+b，由已知得，∴
∴p=-2x+24
∴Q=px=（-2x+24）x=-2（x-6）²+72（x∈N₊，x≤10）
∴當x=6時，f（x）最大
即放置6個網(wǎng)箱時，可使綜產(chǎn)量達到最大
（2）總收益為y=f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1）（x∈N₊，x≤10）
（i）當m=0.25時，f（x）=（-2x²+24x）×-（5lnx+1）=-x²+6x-5lnx-1
∴f′（x）=-
當1＜x＜5時，f′（x）＞0，當5＜x＜10時，f′（x）＜0，
∴x=5時，函數(shù)取得極大值，也是最大值
∴應(yīng)放置5個網(wǎng)箱才能使總收益y最大；
（ii）當m≥0.25時，f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1）
∴f′（x）=
令f′（x）=0，即-4mx²+24mx-5=0
∵m≥0.25，∴△=16m（36m-5）＞0
方程-4mx²+24mx-5=0的兩根分別為，
∵m≥0.25，∴x₁≤1，5≤x₂＜6
∴當x∈（1，x₂）時，f′（x）＞0，當x₂＜x＜10時，f′（x）＜0，
∴x=x₂時，函數(shù)取得極大值，也是最大值
∴使得收益y最高的所有可能的x值組成的集合為{5，6}．
分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)，利用條件，求出函數(shù)解析式，即可求得總產(chǎn)量函數(shù)，再利用配方法，即可求得最大值；
（2）總收益為y=f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1）（x∈N₊，x≤10）
（i）當m=0.25時，f（x）=（-2x²+24x）×-（5lnx+1）=-x²+6x-5lnx-1，求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值，即是最值；
（ii）當m≥0.25時，f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1），求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值，即是最值．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，利用導數(shù)求最值．