Question

【題目】已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,且，，.

(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列是由所有的項(xiàng),且的項(xiàng)組成的數(shù)列,且原項(xiàng)數(shù)先后順序保持不變,求數(shù)列的前2019項(xiàng)的和；

(3)對(duì)任意給定的是否存在使成等差數(shù)列？若存在,用分別表示和(只要寫(xiě)出一組即可)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）4105449；（3）當(dāng)時(shí)，不存在，

當(dāng)時(shí)，存在，滿足要求

【解析】

（1）設(shè)出公差，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求解即可；

（2）找出數(shù)列的前2019項(xiàng)中有多少項(xiàng)在數(shù)列中，在求和的過(guò)程中減去即可；

（3）分類嘗試，當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)不存在；當(dāng)時(shí)，設(shè)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將均用表示出來(lái)，即可找出關(guān)系，得出結(jié)果．

解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，

則，

即，

,

解得或（舍去），

所以，即，

又，

所以等比數(shù)列的公比，

所以，即；

（2），故數(shù)列由數(shù)列的前2019+8項(xiàng)中減去數(shù)列的前8項(xiàng)構(gòu)成，

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列 的前項(xiàng)和為

；

（3）當(dāng)時(shí)，若存在使成等差數(shù)列，

則，

因?yàn)?/span>，所以，與數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列相矛盾，

因此，當(dāng)不存在；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，

則，所以，

令，得。

此時(shí)，

所以，

所以，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在，

當(dāng)時(shí)，存在，滿足要求．