【題目】已知橢圓,分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn),是橢圓的左焦點(diǎn),P是橢圓上異于點(diǎn)的點(diǎn),若的邊長為4的等邊三角形.

寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

當(dāng)直線的一個(gè)方向向量是時(shí),求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

設(shè)點(diǎn)R滿足:,,求證:的面積之比為定值.

【答案】(1);(2);(3)證明見解析

【解析】

是邊長為4的等邊三角形得,進(jìn)一步求得,則橢圓方程可求;

由直線的一個(gè)方向向量是,可得直線所在直線的斜率,得到直線的方程,由橢圓方程聯(lián)立,求得P點(diǎn)坐標(biāo),得到的中點(diǎn)坐標(biāo),再求出,可得以為直徑的圓的半徑,則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;

方法一、設(shè),求出直線的斜率,進(jìn)一步得到直線的斜率,得到直線的方程,同理求得直線的方程,聯(lián)立兩直線方程求得R的橫坐標(biāo),再結(jié)合在橢圓上可得的關(guān)系,由求解;

方法二、設(shè)直線,的斜率為k,得直線的方程為結(jié)合,可得直線的方程為,把與橢圓方程聯(lián)立可得,再由在橢圓上,得到,從而得到,得結(jié)合,可得直線的方程為與線的方程聯(lián)立求得再由求解.

解:如圖,由的邊長為4的等邊三角形,得,且

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

解:直線的一個(gè)方向向量是,

直線所在直線的斜率,則直線的方程為,

聯(lián)立,得,

解得

的中點(diǎn)坐標(biāo)為,

則以為直徑的圓的半徑

為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

證明:方法一、設(shè)

直線的斜率為,由,得直線的斜率為

于是直線的方程為:

同理,的方程為:

聯(lián)立兩直線方程,消去y,得

在橢圓上,

,從而

方法二、設(shè)直線,的斜率為k,,則直線的方程為

,直線的方程為,

代入,得,

是橢圓上異于點(diǎn)的點(diǎn),,從而

在橢圓上,

,從而

,得

,直線的方程為

聯(lián)立,解得,即

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A.B.

C.D.

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)求曲線C的方程;

)設(shè)動直線與兩定直線分別交于兩點(diǎn).若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究:的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

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A. B. C. D.

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A. B. C. D.

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