【題目】如圖,在四棱錐中,,平分,平面,,點(diǎn)在上,.
(1)求證:平面;
(2)若,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析.
(2).
【解析】
(1)先根據(jù)平面得,再根據(jù)已知,得平面,即得,另一方面根據(jù)計(jì)算得,最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論,(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)方程組解得平面的一個(gè)法向量,利用向量數(shù)量積求法向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系求結(jié)果.
(1)證明:因?yàn)?/span>平面,所以,
又因?yàn)?/span>,,所以平面
所以
作交于點(diǎn),則平面,
在中,,,設(shè)
則
易證
因?yàn)?/span>,則
所以,即,
所以平面.
(2)如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)?/span>軸,軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系
因?yàn)榇怪逼椒?/span>,所以為直角三角形的斜邊上的中線
所以
因?yàn)?/span>,,由,得
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則即得,取,則,
由(1)可知為平面的一個(gè)法向量,
所以
由圖可知,所求二面角為銳角
所以所求二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司做了用戶對(duì)其產(chǎn)品滿意度的問卷調(diào)查,隨機(jī)抽取了20名用戶的評(píng)分,得到圖3所示莖葉圖,對(duì)不低于75的評(píng)分,認(rèn)為用戶對(duì)產(chǎn)品滿意,否則,認(rèn)為不滿意,
(Ⅰ)根據(jù)以上資料完成下面的2×2列聯(lián)表,若據(jù)此數(shù)據(jù)算得,則在犯錯(cuò)的概率不超過5%的前提下,你是否認(rèn)為“滿意與否”與“性別”有關(guān)?
附:
(Ⅱ) 估計(jì)用戶對(duì)該公司的產(chǎn)品“滿意”的概率;
(Ⅲ) 該公司為對(duì)客戶做進(jìn)一步的調(diào)查,從上述對(duì)其產(chǎn)品滿意的用戶中再隨機(jī)選取2人,求這兩人都是男用戶或都是女用戶的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上,且短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊為的等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場為了吸引大家,規(guī)定:購買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券,獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼,可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng),已知甲有一張?jiān)撋虉龅莫?jiǎng)券,且每次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是0.05,求:
(1)甲中兩次獎(jiǎng)的概率;
(2)甲中一次獎(jiǎng)的概率;
(3)甲不中獎(jiǎng)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市為調(diào)查會(huì)員某年度上半年的消費(fèi)情況制作了有獎(jiǎng)?wù){(diào)查問卷發(fā)放給所有會(huì)員,并從參與調(diào)查的會(huì)員中隨機(jī)抽取名了解情況并給予物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì).調(diào)查發(fā)現(xiàn)抽取的名會(huì)員消費(fèi)金額(單位:萬元)都在區(qū)間內(nèi),調(diào)查結(jié)果按消費(fèi)金額分成組,制作成如下的頻率分布直方圖.
(1)求該名會(huì)員上半年消費(fèi)金額的平均值與中位數(shù);(以各區(qū)間的中點(diǎn)值代表該區(qū)間的均值)
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從前組中選取人進(jìn)行消費(fèi)愛好調(diào)查,然后再從前組選取的人中隨機(jī)選人,求這人都來自第組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列與數(shù)列滿足,,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記,的前n項(xiàng)的和分別為,,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體,過對(duì)角線作平面交棱于點(diǎn),交棱于點(diǎn),下列正確的是( )
A.平面分正方體所得兩部分的體積相等;
B.四邊形一定是平行四邊形;
C.平面與平面不可能垂直;
D.四邊形的面積有最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中)在點(diǎn)處的切線斜率為1.
(1)用表示;
(2)設(shè),若對(duì)定義域內(nèi)的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的前提下,如果,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且過,直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(,兩點(diǎn)不是左右頂點(diǎn)),若直線的斜率為時(shí),弦的中點(diǎn)在直線上.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)若以,兩點(diǎn)為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn),則直線是否經(jīng)過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,請說明理由.
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