Question

【題目】已知橢圓的兩焦點在軸上，且短軸的兩個頂點與其中一個焦點的連線構成斜邊為的等腰直角三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)動直線交橢圓于兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2）線段AB為直徑的圓恒過點Q(0,1).

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的一個焦點與短軸的兩個頂點的連線構成等腰直角三角形，以及斜邊長為，可求出，進而可求出橢圓方程；

(2)先由直線可得求過定點；根據(jù)與軸平行時或與軸平行時，先求出定點，再由證明即可.

(1)橢圓的一個焦點與短軸的兩個頂點的連線構成等腰直角三角形，.

又斜邊長為，即，故， ，

橢圓方程為.

(2)由題意可知該動直線過定點,

當與軸平行時，以線段AB為直徑的圓的方程為；

當與軸平行時，以線段AB為直徑的圓的方程為.

由 得，

故若存在定點，則的坐標只可能為.

下面證明為所求：

若直線的斜率不存在，上述已經(jīng)證明.

若直線的斜率存在，設直線：，

，，

由 得，

， ，，

，，

=，

，即以線段AB為直徑的圓恒過點.