Question

13．定義$\frac{n}{{{p_1}+{p_2}+{p_3}+…+{p_n}}}$為n個實數(shù)P₁．P₂．…．P_n的“均倒數(shù)”．已知數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+a}$，前n項和S_n≥S₅恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-18，-16）
• B． [-18，-16]
• C． （-22，-18）
• D． （-20，-18）

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前項和為S_n=n（2n+a），由此能求出{a_n}的通項公式a_n=4n-2+a，得到數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)求和公式得到S_n=2n²+an，求出S₅=50+5a，由前n項和S_n≥S₅恒成立，得到a（5-n）≤2（n+5）（n-5），分類討論，即可求出a的范圍．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+a}$，
∴根據(jù)題意得數(shù)列{a_n}的前項和為：S_n=n（2n+a），
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（2n+a）-（n-1）（2n-2+a）=4n-2+a，
n=1時，a₁=S₁=2+a適合上式，
∴a_n=4n-2+a，
∴a_n-a_n-1=4n-2+a-4（n-1）+2-a=4，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴S_n=$\frac{n（2+a+4n-2+a）}{2}$=2n²+an，
∴S₅=50+5a，
∵S_n≥S₅恒成立，
∴2n²+an≥50+5a，
∴a（5-n）≤2n²-50=2（n+5）（n-5）
當n＜5時，a≤-2（n+5），
∵-2（n+5）＜-18，
∴a＜-18；
當n＞5時，a≥-2（n+5），
∵-2（n+5）＜-22，
∴a＞-22
當n=5時，a取任何數(shù)都成立．
綜上所述a的取值范圍為（-22，-18），
故選：C

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，以及恒成立的問題，是中檔題，解題時要認真審題．