Question

5．已知橢圓C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞c）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)（與x軸不重合）與橢圓C相交于D、Q兩點(diǎn)，且|DF₁|+|QF₁|=4，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，△PF₁F₂的面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若A、B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N（-4，0），連接NA與橢圓C相交于點(diǎn)E，直線(xiàn)BE與x軸相交于點(diǎn)M，試求$\frac{N{F}_{2}}{M{F}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a，結(jié)合△PF₁F₂的面積的最大值為$\sqrt{3}$可得bc=$\sqrt{3}$，再由隱含條件求得b，c的值，則橢圓離心率可求；
（2）由（1）求出橢圓方程，設(shè)出直線(xiàn)NA方程，與橢圓方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求得k的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A與E的橫坐標(biāo)的和與積，進(jìn)一步寫(xiě)出BE所在直線(xiàn)方程，取y=0求得M坐標(biāo)，可知M與橢圓左焦點(diǎn)重合，求出NF₂及MF₂的值，則$\frac{N{F}_{2}}{M{F}_{2}}$的值可求．

解答 解：（1）由題意知，2a=4，得a=2．
又bc=$\sqrt{3}$，且b²+c²=4，可得$b=\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
由題意可知直線(xiàn)NA存在斜率，
設(shè)直線(xiàn)NA的方程為y=k（x+4），代入橢圓方程消去y并整理得：
（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0．
由△=（32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0，解得-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則B（x₁，-y₁），
得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，①
直線(xiàn)BE的方程為y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（x-{x}_{1}）$，令y=0，
得${x}_{M}=\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}+{x}_{1}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}=\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}+8}$，②
由①②得${x}_{M}=\frac{2（64{k}^{2}-12）-128{k}^{2}}{-32{k}^{2}+8（4{k}^{2}+3）}=-1$．
即點(diǎn)M為左焦點(diǎn)F₁（-1，0），
因此NF₂=5，MF₂=2．
∴$\frac{N{F}_{2}}{M{F}_{2}}$=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．