【題目】如果存在非零常數(shù),對(duì)于函數(shù)定義域上的任意,都有成立,那么稱函數(shù)為“函數(shù)”.
(Ⅰ)若,,試判斷函數(shù)和是否是“函數(shù)”?若是,請(qǐng)證明:若不是,主說(shuō)明理由:
(Ⅱ)求證:若是單調(diào)函數(shù),則它是“函數(shù)”;
(Ⅲ)若函數(shù)是“函數(shù)”,求實(shí)數(shù)滿足的條件.
【答案】(Ⅰ)是“函數(shù)”, 不是“函數(shù)”.理由見(jiàn)解析;(Ⅱ)證明見(jiàn)解析;(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)定義,代入解析式解不等式,分析是否存在C使得不等式恒成立,即可判斷是否是“函數(shù)”.
(Ⅱ)討論函數(shù)單調(diào)遞增與單調(diào)遞減兩種情況,結(jié)合函數(shù)單調(diào)的性質(zhì)即可證明是 “函數(shù)”;
(Ⅲ)根據(jù)題意可知為單調(diào)函數(shù).代入后變形,可得關(guān)于的一元二次不等式,結(jié)合二次函數(shù)恒成立的解法,即可求得的取值范圍.
(Ⅰ)是“函數(shù)”, 不是“函數(shù)”.理由如下:
若是“函數(shù)”
則滿足
即,所以
解得,
即存在使是“函數(shù)”
若是“函數(shù)”
則滿足
即,化簡(jiǎn)得
當(dāng)時(shí),不能恒成立
當(dāng)時(shí),不能恒成立,
綜上可知,不是“函數(shù)”
(Ⅱ)證明:因?yàn)?/span>是單調(diào)函數(shù),則為單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù).
若是單調(diào)遞增函數(shù),則當(dāng)時(shí),都有成立,函數(shù)為“函數(shù)”
若是單調(diào)遞減函數(shù),則當(dāng)時(shí),都有成立,函數(shù)為“函數(shù)”
綜上可知,當(dāng)為單調(diào)函數(shù)時(shí),則它是“函數(shù)”
(Ⅲ)若函數(shù)是“函數(shù)”,
由,
則
化簡(jiǎn)可得恒成立
由二次函數(shù)性質(zhì)可知滿足
解得
所以或
即時(shí),總存在C滿足函數(shù)是“函數(shù)”
所以滿足的條件為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新高考改革后,假設(shè)某命題省份只統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)和語(yǔ)文,英語(yǔ)學(xué)科改為參加等級(jí)考試,每年考兩次,分別放在每個(gè)學(xué)年的上下學(xué)期,其余六科政治,歷史,地理,物理,化學(xué),生物則以該省的省會(huì)考成績(jī)?yōu)闇?zhǔn).考生從中選擇三科成績(jī),參加大學(xué)相關(guān)院校的錄取.
(1)若英語(yǔ)等級(jí)考試有一次為優(yōu),即可達(dá)到某“雙一流”院校的錄取要求.假設(shè)某考生參加每次英語(yǔ)等級(jí)考試事件是相互獨(dú)立的,且該生英語(yǔ)等級(jí)考試成績(jī)?yōu)閮?yōu)的概率為,求該考生直到高二下期英語(yǔ)等級(jí)考試才為優(yōu)的概率;
(2)據(jù)預(yù)測(cè),要想報(bào)考某“雙一流”院校,省會(huì)考的六科成績(jī)都在95分以上,才有可能被該校錄取.假設(shè)某考生在省會(huì)考六科的成績(jī),考到95分以上的概率都是,設(shè)該考生在省會(huì)考時(shí)考到95以上的科目數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種汽車的購(gòu)車費(fèi)用是10萬(wàn)元,每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為萬(wàn)元,年維修費(fèi)用第一年是萬(wàn)元,第二年是萬(wàn)元,第三年是萬(wàn)元,…,以后逐年遞增萬(wàn)元汽車的購(gòu)車費(fèi)用、每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)、維修費(fèi)用的和平均攤到每一年的費(fèi)用叫做年平均費(fèi)用.設(shè)這種汽車使用年的維修費(fèi)用的和為,年平均費(fèi)用為.
(1)求出函數(shù),的解析式;
(2)這種汽車使用多少年時(shí),它的年平均費(fèi)用最?最小值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,平面ABCD,底面ABCD是正方形,,E為PC上一點(diǎn),當(dāng)F為DC的中點(diǎn)時(shí),EF平行于平面PAD.
(Ⅰ)求證:平面PCB;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2015年我國(guó)將加快階梯水價(jià)推行,原則是“保基本、建機(jī)制、促節(jié)約”,其中“;”是指保證至少80%的居民用戶用水價(jià)格不變.為響應(yīng)國(guó)家政策,制定合理的階梯用水價(jià)格,某城市采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進(jìn)行調(diào)研,抽取的數(shù)據(jù)的莖葉圖如下(單位:噸):
(1)在郊區(qū)的這5戶居民中隨機(jī)抽取2戶,求其年人均用水量都不超過(guò)30噸的概率;
(2)設(shè)該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數(shù)比為,現(xiàn)將年人均用水量不超過(guò)30噸的用戶定義為第一階梯用戶,并保證這一梯次的居民用戶用水價(jià)格保持不變.試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,分析此方案是否符合國(guó)家“;”政策.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對(duì)于區(qū)間,若滿足,則稱區(qū)間為函數(shù)的區(qū)間.
(1)證明:區(qū)間是函數(shù)的區(qū)間;
(2)若區(qū)間是函數(shù)的區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷,且在上僅有個(gè)零點(diǎn),證明:區(qū)間不是函數(shù)的區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從0、2、4中取一個(gè)數(shù)字,從1、3、5中取兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),則所有不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是______(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的,,,四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:
甲說(shuō):“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”;
乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;
丙說(shuō):“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;
丁說(shuō):“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________.
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