Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F₁（一3,0)，一條漸近線的方程是
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若以k（k≠0)為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M, N,且線段MN的
垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍。

Answer 1

(1)  ；(2)

試題分析：(1)因?yàn)橹行脑谠�點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F₁（一3,0)，一條漸近線的方程是，兩個(gè)條件即可求出雙曲線的方程.
(2)依題意可得通過(guò)假設(shè)直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程消去y，即可得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理以及判別式要大于零，即可寫出線段MN的中垂線的直線方程，從而求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即可表示出所求的三角形的面積，從而得到一個(gè)等式結(jié)合判別式的關(guān)系式，即可得到結(jié)論.
試題解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為，
由題設(shè)得  解得，所以雙曲線的方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組，將①式代入②式，得，
整理得，此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是，
且，
整理得.③ 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足：
，，從而線段的垂直平分線的方程為，此直線與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
由題設(shè)可得，整理得，，
將上式代入③式得，整理得，，解得或， 所以的取值范圍是．