Question

17．云南省2016年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的原始成績(jī)采用百分制，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制，各登記劃分標(biāo)準(zhǔn)為：85分及以上，記為A等，分?jǐn)?shù)在[70，85）內(nèi)，記為B等，分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)，記為C等，60分以下，記為D等，同時(shí)認(rèn)定等級(jí)分別為A，B，C都為合格，等級(jí)為D為不合格．
已知甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績(jī)均分布在[50，100]內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績(jī)，分別抽取50名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分別作出甲校如圖1所示樣本頻率分布直方圖，乙校如圖2所示樣本中等級(jí)為C、D的所有數(shù)據(jù)莖葉圖．

（1）求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；
（2）在選取的樣本中，從甲、乙兩校C等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用X表示所抽取的3名學(xué)生中甲校的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)可得x，進(jìn)而定點(diǎn)甲校的合格率．由莖葉圖可得乙校的合格率．
（2）甲乙兩校的C等級(jí)的學(xué)生數(shù)分別為：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{6}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{10}^{3}}$，即可得出．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．
甲校的合格率P₁=（1-0.004）×10=0.96=96%，
乙校的合格率P₂=$\frac{50-2}{50}×100%$=96%．
可得：甲乙兩校的合格率相同，都為96%．
（2）甲乙兩校的C等級(jí)的學(xué)生數(shù)分別為：0.012×10×50=6，4人．
X=0，1，2，3．
則P（X=k）=$\frac{{∁}_{6}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{10}^{3}}$，P（X=0）=$\frac{4}{120}$=$\frac{1}{30}$，P（X=1）=$\frac{36}{120}$=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{60}{120}$=$\frac{1}{2}$，P（X=3）=$\frac{20}{120}$=$\frac{1}{6}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

E（X）=0+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了超幾何分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望、頻率分布直方圖的性質(zhì)、莖葉圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．