Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-n（n∈N^*）．正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=1，且3a₂是b₂，b₃的等差中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=n²-n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1．可得a_n．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=n²-n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=0；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，∴a_n=2n-2．
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則，b₂=q，b₃=q²，3a₂₌₆，
∵3a₂是b₂，b₃的等差中項(xiàng)，∴2×6=q+q²，得q=3或q=-4（舍去），
∴b_n=3^n-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=a_n•b_n=（2n-2）3^n-1=2（n-1）3^n-1，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2×0×3⁰+2×1×3¹+2×2×3²+…+2（n-2）3^n-2+2（n-1）3^{n-1，…①}
                           3T_n=2×0×3¹+2×1×3²+2×2×3²+…+2（n-2）3^n-1，+2（n-1）3^{n，…②}
①-②得：-2T_n=2×3¹+2×3²+…+2×3^n-1-2（n-1）3ⁿ 
=2×$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}-2（n-1）{3}^{n}$
=3n-3-2（n-1）3ⁿ
=（3-2n）3ⁿ-3
∴T_n=$\frac{2n-3}{2}•{3}^{n}+\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、及數(shù)列遞推公式，“錯(cuò)位相減法”，屬于中檔題．