Question

4．直線y=x+1被橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$所截得的弦的中點坐標(biāo)是$（-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$．

Answer 1

分析 將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式求得弦的中點橫坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得弦的中點縱坐標(biāo)，即可求得弦的中點坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)直線y=x+1與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得x²+2（x+1）²=4，
∴3x²+4x-2=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，
∴弦的中點橫坐標(biāo)是x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2}{3}$，
代入直線方程中，得y=x+1=（-$\frac{2}{3}$）+1=$\frac{1}{3}$，
∴弦的中點是（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）
故答案為：$（-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點坐標(biāo)公式，考查計算能力，屬于中檔題．