Question

7．已知函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$，g（x）=1-x$+\frac{{x}^{2}}{2}$$-\frac{{x}^{3}}{3}$，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）•g（x），且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值為3．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）零點(diǎn)的范圍，；通過(guò)討論x的范圍，求出g（x）在R的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出g（x）所在的零點(diǎn)的范圍，F(xiàn) （ x） 的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]，進(jìn)而求出a，b的值，求出答案即可．

解答 解：∵f′（x）=1-x+x²＞0，∴f（x）在R單調(diào)遞增，而f（0）=1＞0，f（-1）＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）內(nèi)有零點(diǎn)；
又∵g′（x）=-1+x-x²＜0，∴f（x）在R單調(diào)遞減，而g（1）=1＞0，g（2）=＜0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有零點(diǎn)，
函數(shù)F（x）=f（x）?g（x），且函數(shù) F （ x） 的零點(diǎn)在區(qū)間（-1，2）內(nèi)，
則 b-a 的最小值為：3
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．屬于中檔題．