Question

【題目】某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來(lái)，生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，決定邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)來(lái)衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為優(yōu)等品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為一等品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為二等品.第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件，繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本，估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況，并用頻率估計(jì)概率.

（1）從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；

（2）現(xiàn)某人決定購(gòu)買80件該產(chǎn)品.已知每件成本1000元，購(gòu)買前，邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)要購(gòu)買的80件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè).買家、企業(yè)及第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)就檢測(cè)方案達(dá)成以下協(xié)議：從80件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)出3件或4件為優(yōu)等品，則按每件1600元購(gòu)買，否則按每件1500元購(gòu)買，每件產(chǎn)品的檢測(cè)費(fèi)用250元由企業(yè)承擔(dān).記企業(yè)的收益為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）商場(chǎng)為推廣此款產(chǎn)品，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng).客戶可根據(jù)拋硬幣的結(jié)果，操控機(jī)器人在方格上行進(jìn)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、……、第50格.機(jī)器人開(kāi)始在第0格，客戶每擲一次硬幣，機(jī)器人向前移動(dòng)一次，若擲出正面，機(jī)器人向前移動(dòng)一格（從到），若擲出反面，機(jī)器人向前移動(dòng)兩格（從到），直到機(jī)器人移到第49格（勝利大本營(yíng)）或第50格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束，若機(jī)器人停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得優(yōu)惠券.設(shè)機(jī)器人移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否吸引顧客購(gòu)買該款產(chǎn)品.

Answer 1

【答案】（1）（2）分布見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為41500；（3）證明見(jiàn)解析，此方案能吸引顧客購(gòu)買該款產(chǎn)品.

【解析】

（1）根據(jù)條形圖，可得優(yōu)等品的頻率為，進(jìn)而可得其概率；（2）計(jì)算出的值可以為47000，39000，計(jì)算出其分別對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，進(jìn)而可得期望；（3）首先易得，，根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)即可得，即為等比數(shù)列，利用累加法可得，再分別計(jì)算出獲勝和失敗的概率，比較大小即可得結(jié)果.

（1）根據(jù)條形圖可知，優(yōu)等品的頻率為，用頻率估計(jì)概率，則任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為.

（2）由（1）任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為，

由題意，或

；

.

故的分布列為：

	47000	39000

所以數(shù)學(xué)期望.

（3）機(jī)器人在第0格為必然事件，，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，機(jī)器人移到第1格，其概率.機(jī)器人移到第格的情況只有兩種：

①先到第格，又出現(xiàn)反面，其概率，

②先到第格，又出現(xiàn)正面，其概率.

所以，故

所以時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)，

公比為的等比數(shù)列.

所以，，，，，

以上各式累加，得，

所以

所以獲勝概率，

失敗概率

，所以獲勝概率更大，

故此方案能吸引顧客購(gòu)買該款產(chǎn)品.