Question

3．△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知a=b，c²=2b²（1-sinC），則C=（　�。�

• A． $\frac{3π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 化簡已知等式可得sinC=1-$\frac{{c}^{2}}{2^{2}}$，又a=b，由余弦定理可得：cosC=sinC，利用兩角差的正弦函數公式可求$\sqrt{2}$sin（C-$\frac{π}{4}$）=0，結合范圍C-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），可求C的值．

解答 解：∵c²=2b²（1-sinC），
∴可得：sinC=1-$\frac{{c}^{2}}{2^{2}}$，
又∵a=b，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=1-$\frac{{c}^{2}}{2^{2}}$=sinC，
∴sinC-cosC=0，可得：$\sqrt{2}$sin（C-$\frac{π}{4}$）=0，
∵C∈（0，π），可得：C-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴C-$\frac{π}{4}$=0，可得：C=$\frac{π}{4}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦函數公式，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想的應用，屬于基礎題．