Question

15．已知函數(shù)f（x）=log₂（9^x-a）-log₂（3^x-2），其中a為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=5時(shí)，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若不等式f（x）＞1對(duì)定義域內(nèi)的所有x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得log₂（9^x-5）＜log₂4（3^x-2），即為9^x-4•3^x+3＜0，且x＞log₉5，運(yùn)用指數(shù)不等式的解法，即可得到解集；
（2）不等式f（x）＞1對(duì)定義域內(nèi)的所有x恒成立，即log₂（9^x-a）-log₂（3^x-2）＞1，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分離參數(shù)，二次函數(shù)的最值求法，函數(shù)恒成立思想即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=5時(shí)，f（x）=log₂（9^x-5）-log₂（3^x-2），
不等式f（x）＜2，即為log₂（9^x-5）-log₂（3^x-2）＜2，
log₂（9^x-5）＜log₂4（3^x-2），
即為9^x-4•3^x+3＜0，且x＞log₉5，
可得1＜3^x＜3，且x＞log₉5，
即為0＜x＜1且x＞log₉5，
即不等式f（x）＜2的解集為（log₉5，1）．
（2）不等式f（x）＞1對(duì)定義域內(nèi)的所有x恒成立，
即log₂（9^x-a）-log₂（3^x-2）＞1，
可得log₂（9^x-a）＞log₂2（3^x-2），
即有9^x-a＞2（3^x-2）＞0，
即為a＜9^x-2（3^x-2），x＞log₃2，
由9^x-2（3^x-2）=（3^x-1）²+3，
由x＞log₃2，可得9^x-2（3^x-2）＞4，
則由題意可得a≤4，
則a的取值范圍是（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)不等式的解法，函數(shù)恒成立問題的解法，注意運(yùn)用運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．