Question

14．甲、乙、丙三名同學(xué)參加歌唱、圍棋、舞蹈、閱讀、游泳5個(gè)課外活動(dòng)，每個(gè)同學(xué)彼此獨(dú)立地選擇參加3個(gè)活動(dòng)，其中甲同學(xué)喜歡唱歌但不喜歡下棋，所以必選歌唱，不選圍棋，另在舞蹈、閱讀、游泳中隨機(jī)選2個(gè)，同學(xué)乙和丙從5個(gè)課外活動(dòng)中任選3個(gè)．
（1）求甲同學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率；
（2）設(shè)X表示參加舞蹈的同學(xué)人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A表示事件“甲同學(xué)選中舞蹈”，B表示事件“乙同學(xué)選中舞蹈”，C表示事件“丙同學(xué)選中舞蹈，事件A、B、C相互獨(dú)立，甲同學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率為P（A$\overline{B}\overline{C}$）=P（A）•P（$\overline{B}$）•P（$\overline{C}$）=P（A）•[1-P（B）][1-P（C）]，由此能求出結(jié)果．
（2）X可能的取值為0，1，2，3，分別示出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解�。�1）設(shè)A表示事件“甲同學(xué)選中舞蹈”，B表示事件“乙同學(xué)選中舞蹈”，
C表示事件“丙同學(xué)選中舞蹈”，…（1分）
則P（A）=$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
P（B）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（C）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$．
∵事件A、B、C相互獨(dú)立，
∴甲同學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率為：
P（A$\overline{B}\overline{C}$）=P（A）•P（$\overline{B}$）•P（$\overline{C}$）=P（A）•[1-P（B）][1-P（C）]
=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{75}$．…（4分）
（2）∵X可能的取值為0，1，2，3，且取這些值的概率分別為
P（X=0）=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{4}{75}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{20}{75}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{33}{75}$，
P（X=3）=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{75}$，…（8分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{20}{75}$	$\frac{33}{75}$	$\frac{18}{75}$

∴X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{4}{75}$+1×$\frac{20}{75}$+2×$\frac{33}{75}$+3×$\frac{18}{75}$=$\frac{140}{75}$=$\frac{28}{15}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．