Question

2．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，焦距為2，離心率e為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點$P（{\frac{1}{2}，1}）$作圓$O：{x^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$的切線，切點分別為M、N，直線MN與x軸交于點F，過點F的直線l交橢圓C于A、B兩點，點F關(guān)于y軸的對稱點為G，求△ABG的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的焦距為2，離心率e為$\frac{1}{2}$．求出a，b，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由題意，得O、M、P、n四點共圓，該圓的方程為（x-$\frac{1}{4}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{16}$，圓O的方程為x²+y²=$\frac{1}{2}$，直線MN的方程為x+2y-1=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${S}_{△ABG}=\frac{1}{2}$|GF||y₁-y₂|=|y₁-y₂|，從而S_△ABG最大，|y₁-y₂|就最大．可設直線l的方程為x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，能求出△ABG的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，焦距為2，離心率e為$\frac{1}{2}$．
∴由題意，2c=2，解得c=1，
由e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，解得a=2．∴b=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）由題意，得O、M、P、n四點共圓，
該圓的方程為（x-$\frac{1}{4}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{16}$，
又圓O的方程為x²+y²=$\frac{1}{2}$，
∴直線MN的方程為x+2y-1=0，令y=0，得x=1，
即點F的坐標為（1，0），則點F關(guān)于y軸的對稱點為G（-1，0）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${S}_{△ABG}=\frac{1}{2}$|GF||y₁-y₂|=|y₁-y₂|，
∴S_△ABG最大，|y₁-y₂|就最大．
由題意知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
又∵直線l與橢圓C交于不同的兩點，
∴△＞0，即（6m）²+36（3m²+4）＞0，m∈R，
則S_△GAB=$\frac{1}{2}$|GF||y₁-y₂|=|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，則t≥1，S_△GAB=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{4}{t+\frac{\frac{1}{3}}{t}}$．
令f（t）=t+$\frac{\frac{1}{3}}{t}$，則函數(shù)f（t）在[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，即當t≥1時，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（t）≥f（1）=$\frac{4}{3}$，∴S_△GAB≤3．
故△ABG的面積的最大值為3．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓、直線方程、根的判別式、韋達定理、弦長公式等知識點的合理運用．