Question

8．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ-16cosθ=0，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（1，3），
（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線的參數(shù)方程改寫為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=3+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$，代入y²=16x，利用參數(shù)的幾何意義求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)，可得直線l的普通方程y=2x+1，
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ-16cosθ=0，即ρ²sin²θ=16ρcosθ，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=16x，
（2）直線的參數(shù)方程改寫為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=3+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$，
代入y²=16x，$\frac{4}{5}{t^2}-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}t-7=0$，${t_1}+{t_2}=\sqrt{5}$，${t_1}{t_2}=-\frac{35}{4}$，
$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=|{\frac{{{t_1}-{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}}|=\frac{{8\sqrt{10}}}{35}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．