Question

16．已知在（$\sqrt{{x}^{3}}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是14：1
（1）求展開(kāi)式中x⁶的系數(shù)；
（2）求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；
（3）求n+9C${\;}_{n}^{2}$+81C${\;}_{n}^{3}$+…+9^n-1C${\;}_{n}^{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，求出展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)列出方程求出n的值．
（2）利用兩邊夾定理，設(shè)出第r+1項(xiàng)為系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)，即可列出關(guān)于r的不等式，解得即可，
（3）利用二項(xiàng)式定理求得結(jié)果．

解答 解：（1）（$\sqrt{{x}^{3}}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=C_n^r${x}^{\frac{3n-5r}{2}}$（-2）^r，
∴展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)分別為2²C_n²，2⁴C_n⁴，
∴2⁴C_n⁴：2²C_n²=14：1，
即2C_n⁴=7C_n²，
解得n=9，
∴展開(kāi)式中通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=C₉^r${x}^{\frac{27-5r}{2}}$（-2）^r，
令$\frac{27-5r}{2}$=6，
解得r=3，
∴展開(kāi)式中x⁶的系數(shù)為C₉³（-2）³=-224，
（2）設(shè)第r項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，
則C₉^r-12^r-1≤C₉^r2^r≤C₉^r+12^r+1，
解得r=9，
則展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)第10項(xiàng)，
（3）9+9C₉²+81C₉³+…+9⁸C₉⁹=$\frac{1}{9}$（9C₉¹+9²C₉²+9³C₉³+…+9⁹C₉⁹）
=$\frac{1}{9}$（9⁰C₉⁰+9C₉¹+9²C₉²+9³C₉³+…+9⁹C₉⁹）=$\frac{1}{9}$[（1+9）⁹-1]=$\frac{1{0}^{9}-1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．