Question

7．若定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f（x）=$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$，當(dāng)2^k-2≤x＜2^k+1-2（k∈N^*）時(shí)，f（x）=2f（$\frac{x-2}{2}$），則函數(shù)F（x）=|${\frac{lnx}{x}}$|-f（x）在區(qū)間（0，2016）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為19．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出（x-（2^k-1+2^k-1））²+y²=4^k-1（y≥0），令$g（x）=\frac{lnx}{x}$，$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，作出$y=|{\frac{lnx}{x}}|$的圖象，由此能求出函數(shù)F（x）=|${\frac{lnx}{x}}$|-f（x）在區(qū)間（0，2016）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f（x）=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$，即（x-1）²+y²=1（y≥0），
當(dāng)2≤x＜6時(shí)，$f（x）=\sqrt{4-{{（x-4）}^2}}$，即（x-4）²+y²=4（y≥0），
當(dāng)6≤x＜14時(shí)，$f（x）=\sqrt{{4^2}-{{（x-10）}^2}}$，即（x-10）²+y²=4²（y≥0），
當(dāng)14≤x＜30時(shí)，$f（x）=\sqrt{{4^3}-{{（x-27）}^2}}$，即（x-27）²+y²=4³（y≥0），
…
當(dāng)2^k-2≤x＜2^k+1-2（k∈N^*）時(shí)，$f（x）=\sqrt{{4^{k-1}}-{{（{x-（{{2^{k-1}}+{2^k}-2}）}）}^2}}$，
即（x-（2^k-1+2^k-1））²+y²=4^k-1（y≥0）．
2¹⁰-2＜2016＜2¹¹-2，
∴函數(shù)f（x）在（0，2016）間的大致圖象為：


令$g（x）=\frac{lnx}{x}$，$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞e時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=e，g（x）取得最大值$g（e）=\frac{1}{e}$．
當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）＞0且g（x）→0．
故$y=|{\frac{lnx}{x}}|$的圖象大致如下：

作出函數(shù)F（x）=|${\frac{lnx}{x}}$|-f（x）在區(qū)間（0，2016）的圖象：

由此結(jié)合圖象可知，$y=|{\frac{lnx}{x}}|$與y=f（x）在區(qū)間（0，2016）上有19個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)F（x）=|${\frac{lnx}{x}}$|-f（x）在區(qū)間（0，2016）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為19．
故答案為：19．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．