Question

【題目】已知直角梯形中， ， ， ， ， ，如圖1所示，將沿折起到的位置，如圖2所示.

（1）當(dāng)平面平面時(shí)，求三棱錐的體積；

（2）在圖2中， 為的中點(diǎn)，若線段，且平面，求線段的長；

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理得平面，即為三棱錐的高，再根據(jù)三棱錐體積公式求體積（2）取的中點(diǎn)，則根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，即得，再根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得.即得四邊形是平行四邊形.可得.

試題解析：（1）當(dāng)平面平面時(shí)，因?yàn)?/span>，且平面平面， 平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.因?yàn)樵谥苯翘菪?/span>中， ， ， ， ， ，所以， .所以.又因?yàn)?/span>，所以，所以.所以.所以三棱錐的體積等于.

（2）取的中點(diǎn)，連接， ，如上圖所示.又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)?/span>，所以.所以， ， ， 共面.因?yàn)?/span>平面， 平面，且平面平面，所以.又因?yàn)?/span>，所以四邊形是平行四邊形.所以.

點(diǎn)睛: 將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，把這類問題稱為平面圖形的翻折問題．平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生了變化，有的沒有發(fā)生變化，弄清它們是解決問題的關(guān)鍵．一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化．解決這類問題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值，這是化解翻折問題難點(diǎn)的主要方法．立體幾何中折疊問題,要注重折疊前后垂直關(guān)系的變化,不變的垂直關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵條件.