【題目】設(shè)函數(shù)x∈R,其中a,b∈R.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)存在極值點(diǎn)x0,且f(x1)= f(x0),其中x1≠x0,求證:x1+2x0=3;
(Ⅲ)設(shè)a>0,函數(shù)g(x)= |f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
試題(Ⅰ)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在,分類討論;(Ⅱ)由題意得,計(jì)算可得.再由及單調(diào)性可得結(jié)論;(Ⅲ)實(shí)質(zhì)研究函數(shù)最大值:主要比較,的大小即可,可分三種情況研究:①;②;③.
試題解析:(Ⅰ)解:由,可得.
下面分兩種情況討論:
(1)當(dāng)時(shí),有恒成立,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)當(dāng)時(shí),令,解得,或.
當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
單調(diào)遞增 | 極大值 | 單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,.
(Ⅱ)證明:因?yàn)?/span>存在極值點(diǎn),所以由(Ⅰ)知,且,
由題意,得,即,
進(jìn)而.
又,且,由題意及(Ⅰ)知,存在唯一實(shí)數(shù)滿足,且,因此,所以.
(Ⅲ)證明:設(shè)在區(qū)間上的最大值為,表示兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論:
(1)當(dāng)時(shí),,由(Ⅰ)知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以在區(qū)間上的取值范圍為,因此
,
所以.
(2)當(dāng)時(shí),,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,,,
所以在區(qū)間上的取值范圍為,因此
.
(3)當(dāng)時(shí),,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,,
所以在區(qū)間上的取值范圍為,因此
.
綜上所述,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最大值不小于.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先閱讀參考材料,再解決此問題:
參考材料:求拋物線弧()與x軸及直線所圍成的封閉圖形的面積
解:把區(qū)間進(jìn)行n等分,得個(gè)分點(diǎn)(),過分點(diǎn),作x軸的垂線,交拋物線于,并如圖構(gòu)造個(gè)矩形,先求出個(gè)矩形的面積和,再求,即是封閉圖形的面積,又每個(gè)矩形的寬為,第i個(gè)矩形的高為,所以第i個(gè)矩形的面積為;
所以封閉圖形的面積為
閱讀以上材料,并解決此問題:已知對(duì)任意大于4的正整數(shù)n,
不等式恒成立,
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______
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【題目】某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈,要求燈柱AB與底面垂直,燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂直,路燈C采用錐形燈罩,射出的管線與平面ABC部分截面如圖中陰影所示,路寬AD=24米,設(shè)
(1)求燈柱AB的高h(用表示);
(2)此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制作路燈燈柱AB和燈桿BC所用材料的總長(zhǎng)度最。孔钚≈禐槎嗌?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,如果存在非零常數(shù),對(duì)于任意,都有,則稱函數(shù)是“似周期函數(shù)”,非零常數(shù)為函數(shù)的“似周期”.現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題:
①如果“似周期函數(shù)”的“似周期”為-1,那么它是周期為2的周期函數(shù);
②函數(shù)是“似周期函數(shù)”;
③函數(shù)是“似周期函數(shù)”;
④如果函數(shù)是“似周期函數(shù)”,那么“”.
其中是真命題的序號(hào)是 .(寫出所有滿足條件的命題序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an=(n﹣k1)(n﹣k2),其中k1,k2∈Z:
(1)試寫出一組k1,k2∈Z的值,使得數(shù)列{an}中的各項(xiàng)均為正數(shù);
(2)若k1=1、k2∈N*,數(shù)列{bn}滿足bn=,且對(duì)任意m∈N*(m≠3),均有b3<bm,寫出所有滿足條件的k2的值;
(3)若0<k1<k2,數(shù)列{cn}滿足cn=an+|an|,其前n項(xiàng)和為Sn,且使ci=cj≠0(i,j∈N*,i<j)的i和j有且僅有4組,S1、S2、…、Sn中至少3個(gè)連續(xù)項(xiàng)的值相等,其他項(xiàng)的值均不相等,求k1,k2的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意都有成立(其中是常數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求:
(2)當(dāng)時(shí),
①若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式:
②設(shè)數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“數(shù)列”,如果,試問:是否存在數(shù)列為“數(shù)列”,使得對(duì)任意,都有,且,若存在,求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值構(gòu)成的集合;若不存在.說明理由.
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A.0B.3C.4D.6
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【題目】(數(shù)學(xué)文卷·2017屆重慶十一中高三12月月考第16題) 現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法:可構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱,然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn),圓柱上底面為底面的圓錐,用這樣一個(gè)幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理(圖1),即可求得球的體積公式.請(qǐng)研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上,解答以下問題:已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后,得一橄欖狀的幾何體(圖2),其體積等于______.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為,圓O的方程為,曲線C與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A,過原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與曲線C交于B,C兩點(diǎn),直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P,直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q,其中,設(shè)直線AB,AC的斜率分別為;
(1)求曲線C的方程,并證明到點(diǎn)M的距離;
(2)求的值;
(3)記直線PQ,BC的斜率分別為、,是否存在常數(shù),使得?若存在,求的值,若不存在,說明理由.
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