Question

給出下列命題：①sinα+cosα=

1

5

，則α在第一或四象限；②函數y=sinx+cosx，x=

π

4

是它的一條對稱軸，(

3π

4

，0)是它的一個對稱中心；③函數y=sin(2x-

π

3

)在[0，

π

2

]內是單調增函數；④把y=2tan(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個單位可得到y(tǒng)=2tan2x的圖象；⑤在△ABC中，cos2A＞cos2B是A＜B的充要條件．
其中逆否命題為真命題的有（　�。�

• A、①②⑤
• B、②⑤
• C、②③④
• D、①③⑤

Answer 1

分析：將①中sinα+cosα=

1

5

兩邊平方后，我們易求出sinα•cosα，由其符號可判斷α所在的象限；將x=

π

4

，x=

3π

4

分別代入函數y=sinx+cosx，根據其值是否為函數的最值，易判斷x=

π

4

是否是它的一條對稱軸，根據其值是否為0，可判斷(

3π

4

，0)是否是它的一個對稱中心；利用三角函數的單調性，可判斷③的真假；根據函數平移變換法則，可判斷④的對錯；由倍角公式及正弦定理，我們也可得到⑤的正誤．進行得到結論．

解答：解：對于①，sinα+cosα=

1

5

?sinαcosα=-

24

25

＜0，∴α在第二或四象限，錯誤．
對于②，y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，x=

π

4

時，sin(x+

π

4

)=1，∴x=

π

4

是它的一條對稱軸，
x=

3π

4

時，sin(x+

π

4

)=0，∴(

3π

4

，0)是它的一個對稱中心，正確．
對于③，在[0，

5π

12

]內y=sin(2x-

π

3

)單增，在[

5π

12

，

π

2

]單減，∴錯誤．
對于④，把y=2tan(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個單位得到y=2tan[2(x-

π

3

)≠2tan2x，∴錯誤．
對于⑤，在△ABC中，cos2A＞cos2B?1-2sin²A＞1-2sin²B?sinA＜sinB?a＜b?A＜B，∴正確
故選：B

點評：本題考查的知識點是三角函數的定義，符號，對稱性，單調性，平移變換，倍角公式，正弦定理及命題真假的判斷，熟練掌握三角函數的定義和性質，是解答本題的關鍵．