Question

11．如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．
（1）設(shè)點M為棱PD中點，在面ABCD內(nèi)是否存在點N，使得MN⊥平面ABCD？若存在，
請證明；若不存在，請說明理由；
（2）求二面角D-PE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD交于點N，連接MN，由已知可證PB⊥平面ABCD，再由三角形中位線可得MN∥PB，進一步得到MN⊥平面ABCD；
（2）以A為原點，AE，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立坐標系，可得平面PEA的法向量，再設(shè)平面DPE的法向量，利用向量數(shù)量積為0列式求出法向量，求得兩個法向量的夾角的余弦值，可得二面角D-PE-A的余弦值．

解答 解：（1）連接AC，BD交于點N，連接MN，則MN⊥平面ABCD．
證明：∵M為PD中點，N為BD中點，
∴MN為△PDB的中位線，則MN∥PB．
又平面ABCD⊥平面ABPE，
平面ABCD∩平面ABPE=AB，BC?平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABPE，則BC⊥PB，
又PB⊥AB，AB∩BC=B，∴PB⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD；
（2）以A為原點，AE，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立坐標系，
∵AD⊥平面PEA，∴平面PEA的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，0，1）$，
又D（0，0，1），E（1，0，0），P（2，2，0），
∴$\overrightarrow{DE}=（1，0，-1）$，$\overrightarrow{DP}=（2，2，-1）$，
設(shè)平面DPE的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{2x+2y-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得x=1，y=$-\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，-\frac{1}{2}，1）$，則cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{1}{1×\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$，
又D-PE-A為銳二面角，
∴二面角D-PE-A的余弦值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查二面角的平面角及其求法，訓練了利用空間向量求二面角的大小，考查計算能力，是中檔題．