Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，其中函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線(xiàn)平行于x軸．
（1）確定a與b的關(guān)系；
（2）若a≥0，試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線(xiàn)與x軸平行，推出結(jié)果．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)g（x）的定義域，通過(guò)當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，分別求解函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）依題意得g（x）=lnx+ax²+bx，
則$g'（x）=\frac{1}{x}+2ax+b$…（2分）
由函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線(xiàn)平行于x軸得：g'（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1…（4分）
（2）由（1）得$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-（{2a+1}）x+1}}{x}=\frac{{（{2ax-1}）（{x-1}）}}{x}$．
∵函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴當(dāng)a=0時(shí)，$g'（x）=-\frac{x-1}{x}$．
由g'（x）＞0，得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1，…（6分）
當(dāng)a＞0時(shí)，令g'（x）=0，得x=1或$x=\frac{1}{2a}$，…（7分）
若$\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$，
由g'（x）＞0，得x＞1或$0＜x＜\frac{1}{2a}$，
由g'（x）＜0，得$\frac{1}{2a}＜x＜1$；…（9分）
若$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$，
由g'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{2a}$或0＜x＜1，
由g'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{1}{2a}$…（11分）
若$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$，在（0，+∞）上恒有g(shù)'（x）≥0…（12分）
綜上可得：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
在$（{1，\frac{1}{2a}}）$上單調(diào)遞減，在$（{\frac{1}{2a}，+∞}）$上單調(diào)遞增；
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）在$（{0，\frac{1}{2a}}）$上單調(diào)遞增，
在$（{\frac{1}{2a}，1}）$上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的切線(xiàn)方程以及函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．