Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），過點M（2，1），斜率為4的直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點M恰好為線段AB的中點，則雙曲線的一條漸近線方程為（　�。�

• A． 2x-y=0
• B． y=x
• C． $\sqrt{3}$x-y=0
• D． $\sqrt{2}x$+y=0

Answer 1

分析 利用點差法，結合中點坐標關系進行化簡得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，即可求出雙曲線的漸近線方程．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$
兩式相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$-$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
∵斜率為4的直線l與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B兩點，A、B的中點為M（2，1），
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=4，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
即x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
則4=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{4}{2}$，
即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，則$\frac{a}$=$\sqrt{2}$
∴y=$±\frac{a}$x=±$\sqrt{2}$x．
即±$\sqrt{2}$x+y=0，
則雙曲線的一條漸近線為$\sqrt{2}x$+y=0
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求解，利用點差法和線段中點坐標公式進行化簡是解決本題的關鍵．