Question

10．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：x²-y²=4有相同的右焦點(diǎn)F₂，點(diǎn)P是橢圓C₁與雙曲線C₂在第一象限的公共點(diǎn)，若|PF₂|=2，則橢圓C₁的離心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用雙曲線、橢圓的定義，求出a，利用雙曲線的性質(zhì)，求出c，即可求出橢圓C₁的離心率

解答 解：由題意，不妨設(shè)P在第一象限，
由雙曲線C₂：x²-y²=4的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，則|PF₁|-|PF₂|=4，c=2$\sqrt{2}$
∵|PF₂|=2，∴|PF₁|=6，
∴2a=|PF₂|+|PF₂|=8，
∴a=4．
∵橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：x²-y²=4有相同的右焦點(diǎn)F₂，c=2$\sqrt{2}$，
∴橢圓C₁的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用離心率的定義，屬于中檔題．