Question

3．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的$\sqrt{2}$倍，P為側棱SD上的點，且SD⊥PC．
（1）求二面角P-AC-D的大��；
（2）在側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結BD，交AC于點O，連結SO，OP，設SD的中點為Q，連結BQ，△SBD為等邊三角形，推導出∠POD是二面角P-AC-D的平面角，由此能求出二面角P-AC-D的大�。�
（2）在平面SCD內(nèi)作QE∥CP，則QE∥面PAC，從而BQ∥面PAC，進而面EBQ∥面PAC，由此能求出存在點E且SE：EC=2：1，使得BE∥面PAC．

解答 解：（1）連結BD，交AC于點O，連結SO，OP，
∵AC⊥平面SBD，∴OP⊥SD，
設SD的中點為Q，
連結BQ，△SBD為等邊三角形，∴BQ⊥SD，
∴P為QD的中點，∴P為SD的四等分點，
PD=$\frac{1}{4}$SD，OD=$\frac{1}{2}$BD，
又∵AC⊥OP，AC⊥DO，
∴∠POD是二面角P-AC-D的平面角，
sin∠POD=$\frac{PD}{OD}$=$\frac{\frac{1}{4}SD}{\frac{1}{2}BD}$=$\frac{1}{2}$，
由圖可知二面角P-AC-D為銳二面角，
∴二面角P-AC-D的大小為30°．
（2）存在點E且SE：EC=2：1，使得BE∥面PAC．
證明如下：
在平面SCD內(nèi)作QE∥CP，∴QE∥面PAC，
又BQ∥OP，∴BQ∥面PAC，
又QE∩BQ=Q，∴面EBQ∥面PAC，
∵BE?面EBQ，∴BE∥面PAC，
∴SE：EC=SQ：QP=2：1．

點評 本題考查二面角的大小的求法，考查滿足線面平行的點是否存在的求法與判斷，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結合思想、轉化化歸思想，是中檔題．