Question

12．已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，順次連接橢圓四個頂點所得四邊形的面積為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知直線l與橢圓相交于M，N兩點，O為原點，若點O在以MN為直徑的圓上，試求點O到直線l的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=$\sqrt{2}$c，2ab=2$\sqrt{2}$，a²-c²=b²，即可求得a和b的值，求得橢圓的標準方程；
（2）當直線l的斜率不存在時，點O在以MN為直徑的圓上，OM⊥ON．求得M和N的坐標，即可求得原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，由韋達定理求得x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，則x₁x₂+y₁y₂═0，求得m²=$\frac{2{k}^{2}+2}{3}$，原點O到直線l的距離為d，則d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{2{k}^{2}+2}{3}}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：（1）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），焦距為2c．
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=$\sqrt{2}$c，①
∵橢圓頂點連線四邊形面積為2$\sqrt{2}$，即2ab=2$\sqrt{2}$，②
又∵a²-c²=b²，③
聯(lián)立①②③解得c=1，a=$\sqrt{2}$，b=1．
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；  …（4分）
（2）當直線l的斜率不存在時，點O在以MN為直徑的圓上，
∴OM⊥ON．
根據(jù)橢圓的對稱性，可知直線OM、ON的方程分別為y=x，y=-x，
可求得M（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），N（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）或M（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），N（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
此時，原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（6分）
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，…（8分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$-km（-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$）+m²=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$．
∵OM⊥ON，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，即x₁x₂+y₁y₂═$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$+$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$=0，
即3m²-2k²-2=0，變形得m²=$\frac{2{k}^{2}+2}{3}$．
設原點O到直線l的距離為d，則d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{\frac{2{k}^{2}+2}{3}}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
綜上，原點O到直線l的距離為定值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（10分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，點到直線距離公式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．