Question

2．頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P（1，2）在此拋物線上．
（Ⅰ）寫出該拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）若直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求△ABP的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），由拋物線經(jīng)過P（1，2）可得p，即可寫出該拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）若直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求出|AB|，點(diǎn)P到直線y=x的距離，即可求△ABP的面積．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且關(guān)于x軸對(duì)稱，
可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），----------------------（1分）
由拋物線經(jīng)過P（1，2）可得p=2．----------------------（2分）
所以拋物線方程為y²=4x，----------------------（3分）
準(zhǔn)線方程為x=-1．----------------------（4分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x}\end{array}\right.$----------------------（5分）
得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$----------------------（7分）
可得$|{AB}|=4\sqrt{2}$）--------------------（8分）
點(diǎn)P到直線y=x的距離$d=\frac{{|{1-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$----------------（9分）
所以${S_{△ABP}}=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=2$．----------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．