Question

13．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C的各條棱長都為a，P為A₁B的中點，M為AB的中點，
（1）求證：AB⊥平面PMC；
（2）求點B到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （1）連接PM，CM，證明AB⊥PM，AB⊥CM，即可證明AB⊥平面PMC；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，求點B到平面PAC的距離．

解答 （1）證明：連接PM，CM   （1分）
可知 PM∥AA₁，而AB⊥AA₁，∴AB⊥PM
又∵AB⊥CM，PM∩CM=M，∴AB⊥面PMC（6分）
（2）解：假設(shè)點B到平面PAC的距離：h，
四面體P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×\frac{1}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{24}{a^3}$（8分）
∵△PAC中，AC=a，AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PC=a，
∴${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}a×\sqrt{\frac{7}{8}}a=\frac{{\sqrt{7}}}{8}{a^2}$（9分）
∴${V_{P-ABC}}={V_{B-PAC}}⇒\frac{{\sqrt{3}}}{24}{a^3}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{7}}}{8}{a^2}×h⇒h=\frac{{\sqrt{21}}}{7}a$（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，正確利用等體積轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．