Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁、F₂，其離心率e=$\frac{1}{2}$，點P為橢圓上的一個動點，△PF₁F₂面積的最大值為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）經(jīng)過F₂的直線m與曲線C交于P、Q兩點，若|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}×2c×b$=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）由題意可設(shè)直線m的方程為：ty=x-2．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3t²+4）y²+12ty-36=0，由|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，可得F₁Q⊥F₂Q.${k}_{{F}_{1}Q}$$•{k}_{{F}_{2}Q}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$$•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=-1，即（1+t²）y₁•y₂+4t（y₁+y₂）+16=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}×2c×b$=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
解得c=2，a=4，b²=12．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）由題意可設(shè)直線m的方程為：ty=x-2．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，化為：（3t²+4）y²+12ty-36=0，
∴y₁•y₂=$\frac{-36}{3{t}^{2}+4}$，y₁+y₂=$\frac{-12t}{3{t}^{2}+4}$．
∵|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，
∴F₁Q⊥F₂Q．
∴${k}_{{F}_{1}Q}$$•{k}_{{F}_{2}Q}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$$•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=-1，
∴y₁•y₂+（x₁+2）（x₂+2）=0，即y₁•y₂+（ty₁+4）（ty₂+4）=0，
∴（1+t²）y₁•y₂+4t（y₁+y₂）+16=0，
∴（1+t²）•$\frac{-36}{3{t}^{2}+4}$+4t×$\frac{-12t}{3{t}^{2}+4}$+16=0，
化為：9t²=7，解得t=$±\frac{\sqrt{7}}{3}$．
∴直線m的方程為：3x$±\sqrt{7}$y-6=0．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理的逆定理、直線垂直與斜率之間的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．