Question

8．如圖，過(guò)函數(shù)f（x）=log_cx（c＞1）的圖象上的兩點(diǎn)A，B作x軸的垂線，垂足分別為M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），線段BN與函數(shù)g（x）=log_mx（m＞c＞1）的圖象交于點(diǎn)C，且AC與x軸平行．
（1）當(dāng)a=2，b=4，c=3時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)b=a²時(shí)，求$\frac{m}$-$\frac{2c}{a}$的最小值；
（3）已知h（x）=a^x，φ（x）=b^x，若x₁，x₂為區(qū)間（a，b）任意兩個(gè)變量，且x₁＜x₂，求證：h（f（x₂））＜φ（f（x₁））

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等列方程即可解出m；
（2）據(jù)A，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得出a，b，c，m的關(guān)系，代入$\frac{m}$-$\frac{2c}{a}$得出關(guān)于$\frac{c}{a}$的代數(shù)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最值；
（3）計(jì)算h（f（x₂）），φ（f（x₁）），利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小．

解答 解：（1）由題意得A（2，log₃2），B（4，log₃4），$C（4，log_m^{\;}4）$．
又AC與x軸平行，∴l(xiāng)og_m4=log₃2，
解得m=9．
（2）由題意得A（a，log_ca），B（b，log_cb），$C（b，log_m^{\;}b）$．
∵AC與x軸平行，∴l(xiāng)og_mb=log_ca．
∵b=a²，∴m=c²，
∴$\frac{m}-\frac{2c}{a}=\frac{c^2}{a^2}-\frac{2c}{a}={（{\frac{c}{a}-1}）^2}-1$．
∴$\frac{c}{a}=1$時(shí)，$\frac{m}$-$\frac{2c}{a}$取得最小值-1．
（3）h（f（x₂））=a${\;}^{lo{g}_{c}{x}_{2}}$，φ（x₁）=b${\;}^{lo{g}_{c}{x}_{1}}$，
∵a＜x₁＜x₂＜b，且c＞1，∴l(xiāng)og_ca＜log_cx₁＜log_cx₂＜log_cb．
又∵a＞1，b＞1，∴${a^{{{log}_c}{x_2}}}＜{a^{{{log}_c}b}}，{b^{{{log}_c}a}}＜{b^{{{log}_c}{x_1}}}$．
又∵log_cb•log_ca=log_ca•log_cb，∴${log_c}{a^{{{log}_c}b}}={log_c}{b^{{{log}_c}a}}$．
∴${a^{{{log}_c}b}}={b^{{{log}_c}a}}$，∴${a^{{{log}_c}{x_2}}}＜{b^{{{log}_c}{x_1}}}$．
即h[f（x₂）]＜φ（f（x₁））．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)計(jì)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于中檔題．