Question

15．已知函數(shù)f（x）=sinx-$\frac{2}{π}$x，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（ I）求證：f（x）≥0；
（ II）若m＜$\frac{sinx}{x}$＜n對一切x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，求m和n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最小值；
（2）根據(jù)（1）結(jié)論，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，構(gòu)造函數(shù)h（x）=sinx-nx，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分類討論即可．

解答 解：（1）證明：f（x）=sinx-$\frac{2}{π}$x，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
f'（x）=cosx-$\frac{2}{x}$，令f'（x）=0，得x=x₀，
當(dāng)在（0，x₀）時，f'（x）＞0，函數(shù)遞增；當(dāng)在（x₀，$\frac{π}{2}$）時，f'（x）＜0，函數(shù)遞減，
∴在x=x₀處取得極大值，
取得極大值，
∵f（0）=f（$\frac{π}{2}$）=0，
所以f（x）≥0得證；
（2）由（1）得，$\frac{sinx}{x}$≥$\frac{2}{π}$，所以m≤$\frac{2}{π}$，
設(shè)h（x）=sinx-nx，則h'（x）=cosx-n，
①n≥1時，h'（x）≤0，h（x）單調(diào)遞減，且h（x）=0，所以h（x）≤0成立
②n≤0時，h'（x）≥0，h（x）單調(diào)遞增，與$\frac{sinx}{x}$＜n矛盾
③0＜n＜1時，與$\frac{sinx}{x}$＜n恒成立矛盾，
綜上，n≥1，m≤$\frac{2}{π}$．

點評 考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)的構(gòu)造，難點是（2）中的分類討論．