Question

16．已知f（x）是R上可導的增函數(shù)，g（x）是R上可導的奇函數(shù)，對?x₁，x₂∈R都有|g（x₁）+g（x₂）|≥|f（x₁）+f（x₂）|成立，等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，f（x）同時滿足下列兩件條件：f（a₂-1）=1，f（a₉-1）=-1，則S₁₀的值為10．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令x₁=-x₂有|g（x₁）+g（-x₁）|≥|f（x₁）+f（-x₁）|，結合g（x）的奇偶性可得|f（x₁）+f（-x₁）|≤0，分析可得f（x）為奇函數(shù)；又由f（a₂-1）=1，f（a₉-1）=-1，分析可得則有a₂+a₉=2，由等差數(shù)列前n項和公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對?x₁，x₂∈R都有|g（x₁）+g（x₂）|≥|f（x₁）+f（x₂）|成立，
令x₁=-x₂有：|g（x₁）+g（-x₁）|≥|f（x₁）+f（-x₁）|，
又由g（x）是R上可導的奇函數(shù)，
則有|f（x₁）+f（-x₁）|≤0，
即f（x₁）+f（-x₁）=0，
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
若f（a₂-1）=1，f（a₉-1）=-1，
則有（a₂-1）+（a₉-1）=0，
即a₂+a₉=2，
S₁₀=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{10}）×10}{2}$=$\frac{（{a}_{2}+{a}_{9}）×10}{2}$=10；
故答案為：10．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應用，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，關鍵是分析函數(shù)f（x）的奇偶性．