【題目】已知函數(shù) .

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極小值；

(2)若函數(shù)在有個零點,求實數(shù)的取值范圍；

(3)在(2)的條件下,若函數(shù)在的三個零點分別為,求證: .

【答案】（1）當(dāng)時,函數(shù)有極小值.（2）（3）見解析

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間，從而可得極小值；

（2）首先的零點即是的零點，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）由（1）知，求得導(dǎo)函數(shù)，確定出的單調(diào)性與極值點，再由有三個零點，得出的范圍，同時由零點存在定理得三個零點各自的范圍，從而得證．

詳解： (1)當(dāng) 時，，，

則,解得,,解得或,

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞減,

當(dāng)時,函數(shù)有極小值.

(2)設(shè)

函數(shù)在上有個零點等價于函數(shù)在上有

個零點且，要使函數(shù)在上有個零點,則

，解得，

即實數(shù)的取值范圍是.

(3)由(Ⅱ)得, ， .

，

則，解得,解得或，

，，

則，解得，解得或.

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞減.

若函數(shù)在上的三個零點分別為,不妨設(shè)

則，即，解得.

又當(dāng)時, ；

當(dāng)時， ；當(dāng)時, ；

當(dāng)時, ，

由函數(shù)零點存在性定理可得，

.

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