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【題目】已知函數 .

(Ⅰ)討論的單調性;

(Ⅱ)設,證明:當時, ;

(Ⅲ)設的兩個零點,證明 .

【答案】(Ⅰ)上單調遞減,在上單調遞增;(Ⅱ)當時,;(Ⅲ)證明過程見解析

【解析】試題分析:()求導,并判斷導數的符號,分別討論的取值,確定函數的單調區(qū)間.
)構造函數,利用導數求函數時的最大值小于零即可.

)由()得 ,從而,于是,由()知, .

試題解析:(Ⅰ)的定義域為

求導數,得

,則,此時上單調遞增,

,則由,當時, ,當時, ,

此時上單調遞減,在上單調遞增.

(Ⅱ)令,則

.

求導數,得 ,

當時,,上是減函數.

,

故當時,

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,當時,函數至多有一個零點,

,從而的最小值為,且,

不妨設,則, ,

由(Ⅱ)得

從而,于是,

由(Ⅰ)知, .

點晴:本題考查函數導數的單調性.不等式比較大小,函數的零點問題:在)中通過求導,并判斷導數的符號,分別討論的取值,確定函數的單調區(qū)間.()通過構造函數,把不等式證明問題轉化為函數求最值問題,求函數時的最大值小于零即可.()要充分利用()()問的結論.

練習冊系列答案
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(1)求函數f(x)的表達式;

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【題目】以下三個命題 ①設回歸方程為 =3﹣3x,則變量x增加一個單位時,y平均增加3個單位;
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③在某項測量中,測量結果ξ服從正態(tài)分布N (1,σ2) (σ>0).若ξ在(0,1)內取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內取值的概率為0.8.
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A.0
B.1
C.2
D.3

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【題目】古代中國數學輝煌燦爛,在《張丘建算經》中記載:“今有十等人,大官甲等十人官賜金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更給.問:各得金幾何及未到三人復應得金幾何?”則該問題中未到三人共得金多少斤?(
A.
B.
C.2
D.

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【題目】給出下列四個命題:
①函數y=|x|與函數y=( 2表示同一個函數;
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④y=2|x|的最小值為1
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