Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是為棱CB上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{BN}=λ\overrightarrow{BC}，λ∈（{0，1}）$．
（Ⅰ）判斷直線MN能否垂直于直線AD，若能，確定N點(diǎn)的位置，若不能，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）若直線MN⊥BC，求二面角M-AN-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．假設(shè)直線MN能否垂直于直線AD，則$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AD}=0$，即（λ+1）×0+（2λ-1）×2+（-1）×0=0
解得λ，即可判斷直線MN能否垂直于直線AD，
（Ⅱ）由直線MN⊥BC，求得λ，求出面MNA的法向量，面ANC的法向量，利用向量夾角公式求面角M-AN-C的余弦值為

解答 解：如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
 A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
（Ⅰ）∵點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)，∴M（0，1，1），
∴$\overrightarrow{MA}=（0，-1，-1）$，$\overrightarrow{AB}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{BN}=λ\overrightarrow{BC}=（λ，2λ，0）$，
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=（λ+1，2λ-1，-1）$，
假設(shè)直線MN能否垂直于直線AD，則$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AD}=0$，即（λ+1）×0+（2λ-1）×2+（-1）×0=0
解得$λ=\frac{1}{2}$．∴直線MN能垂直于直線AD，此時(shí)N點(diǎn)是BC中點(diǎn)．
（Ⅱ）直線MN⊥BC，即$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BC}=（λ+1）×1+（2λ-1）×2+（-1）×$0=0
解得λ=$\frac{1}{5}$
則$\overrightarrow{MN}=（\frac{6}{5}．-\frac{3}{5}，-1）$，設(shè)面MNA的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=\frac{6}{5}x-\frac{3}{5}y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MA}=-y-z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（1，-3，3）$．
面ANC的法向量為$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{AP}＞$=$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．
∵面角M-AN-C是銳角．∴面角M-AN-C的余弦值為$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．
                                                                                                                                             

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量在處理動(dòng)點(diǎn)問題、空間角問題中的應(yīng)用．屬于中檔題．