Question

4．已知點(diǎn)E、F、G分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、$B_1^{\;}{C_1}$的中點(diǎn)，如圖，則下列命題為假命題的是（　�。�

• A． 點(diǎn)P在直線FG上一定，總有AP⊥DE
• B． 點(diǎn)Q在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-D₁QC的體積為定值
• C． 點(diǎn)M是正方體面A₁B₁C₁D₁內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D和點(diǎn)C₁距離相等的點(diǎn)，則M的軌跡是一條直線
• D． 過(guò)F，D₁，G的截面是正方形

Answer 1

分析 利用正方體的特征，依次對(duì)各項(xiàng)命題進(jìn)行判斷．

解答 解：對(duì)于A：F、G分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC、B₁C₁的中點(diǎn)，直線FG底面ABCD，AE⊥DE
那么：點(diǎn)P在直線FG上總是有AP⊥DE，故A正確．
對(duì)于B：三棱錐A-D₁QC的體積等于Q-D₁AC的體積，∵D₁AC底面積不變，BC₁∥D₁AC底面，點(diǎn)Q在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)到平面D₁AC距離不變，其體積為定值．故B正確．
對(duì)于C：到點(diǎn)D和點(diǎn)C₁距離相等的點(diǎn)軌跡為平面A₁BCD₁（中垂面），又點(diǎn)M在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，故M的軌跡是一條直線A₁D₁．故C正確．
對(duì)于D：過(guò)F，D₁，G的截面，因?yàn)镈₁G是三角形D₁GC₁的斜邊，GF是正方體的邊長(zhǎng)，所以截面不是正方形，故D不正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體的特征，線線垂直，線面平面和動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題．比較綜合，有一點(diǎn)難度，屬于中檔題．