Question

【題目】已知遞增等比數列{an}滿足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2和a4的等差中項，
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若 ，Sn=b1+b2+…+bn ， 求使Sn+n2n+1＞62成立的正整數n的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得 ，

解得

由于{an}是遞增數列，所以a1=2，q=2

即數列{an}的通項公式為an=22n﹣1=2n

（2）解： ）

Sn=b1+b2+…+bn=﹣（1×2+2×22+…+n×2n）①

則2Sn=﹣（1×22+2×23+…+n×2n+1）②

②﹣①，得Sn=（2+22+…+2n）﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1

即數列{bn}的前項和Sn=2n+1﹣2﹣n2n+1

則Sn+n2n+1=2n+1﹣2＞62，所以n＞5，

即n的最小值為6

【解析】（1）由題意，得 ，由此能求出數列{an}的通項公式．（2） ，Sn=b1+b2+…+bn=﹣（1×2+2×22+…+n×2n），所以數列{bn}的前項和Sn=2n+1﹣2﹣n2n+1 ， 使Sn+n2n+1＞62成立的正整數n的最小值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．