Question

11．已知⊙O：x²+y²=2，⊙M：（x+2）²+（y+2）²=2，點P的坐標為（1，1）．
（1）過點O作⊙M的切線，求該切線的方程；
（2）若點Q是⊙O上一點，過Q作⊙M的切線，切點分別為E，F(xiàn)，且∠EQF=$\frac{π}{3}$，求Q點的坐標；
（3）過點P作兩條相異直線分別與⊙O相交于A，B，且直線PA與直線PB的傾斜角互補，試判斷直線OP與AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切線方程為：y=kx，則$\frac{|-2k+2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$$⇒k=2±\sqrt{3}$，即可求該切線的方程；
（2）題知，∠EQF=$\frac{π}{3}$，即QM=2ME，求出Q的軌跡方程，即可求Q點的坐標；
（3）求出A，B的坐標，利用斜率公式證明k_AB=k_OP⇒直線OP與AB平行．

解答 解：（1）設(shè)切線方程為：y=kx，則$\frac{|-2k+2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$$⇒k=2±\sqrt{3}$
⇒切線方程為$y=（2+\sqrt{3}）x$或$y=（2-\sqrt{3}）x$；
（2）由題知，∠EQF=$\frac{π}{3}$，即QM=2ME，設(shè)Q（x，y），則Q的軌跡為：$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^2}+{（y+2）^2}=8\\{x^2}+{y^2}=2\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{3-\sqrt{15}}}{4}\\ y=\frac{{-1+\sqrt{15}}}{4}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{-1+\sqrt{15}}}{4}\\ y=\frac{{-1-\sqrt{15}}}{4}\end{array}\right.$
即$Q（\frac{{-1-\sqrt{15}}}{4}，\frac{{-1+\sqrt{15}}}{4}）或Q（\frac{{-1+\sqrt{15}}}{4}，\frac{{-1-\sqrt{15}}}{4}）$
（3）由題設(shè)l_PA：y-1=k（x-1）則l_PB：y-1=-k（x-1）
由$\left\{\begin{array}{l}y-1=k（x-1）\\{x^2}+{y^2}=2\end{array}\right.⇒（1+{k^2}）{x^2}+2k（1-k）x+{（1-k）^2}-2=0$$⇒{x_A}=\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$；
同理${x_B}=\frac{{{k^2}+2k-1}}{{1+{k^2}}}$$⇒{k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k（{x_A}+{x_B}）+2k}}{{{x_B}-{x_A}}}=1$
又k_OP=1⇒k_AB=k_OP⇒直線OP與AB平行．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓位置關(guān)系的運用，考查斜率的計算，屬于中檔題．