Question

1．如圖，將正六邊形ABCDEF中的一半圖形ABCD繞AD翻折到AB₁C₁D，使得∠B₁AF=60°．G是BF與AD的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ADEF⊥平面B₁FG；
（Ⅱ）求直線AB₁與平面ADEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出B₁G⊥AD，F(xiàn)G⊥AD，從而AD⊥平面B₁GF，由此能證明平面ADEF⊥平面B₁FG．
（Ⅱ）法一：作B₁H⊥FG于H，連接AH，則∠B₁AH就是直線B₁A與平面ADEF所成的角，由此能求出直線AB₁與平面ADEF所成角的正弦值．
法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD為x軸，過A在平面ADEF內(nèi)作垂直于AD的直線為y軸，過A作垂直于平面ADEF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB₁與平面ADEF所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

解答 證明：（Ⅰ）由正六邊形對(duì)稱性可知BF⊥AD，
因此B₁G⊥AD，F(xiàn)G⊥AD．   …．（3分）
又B₁G∩FG=G，B₁G?平面B₁GF，F(xiàn)G?平面B₁GF，
所以AD⊥平面B₁GF． …．（5分）
又因?yàn)锳D?平面ADEF，
所以平面ADEF⊥平面B₁FG．…．（7分）
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）已得平面B₁GF⊥平面ADEF．
作B₁H⊥FG于H，
又由于平面B₁GF∩平面ADEF=FG，
所以B₁H⊥平面ADEF．
連接AH，則∠B₁AH就是直線B₁A與平面ADEF所成的角．  …．（11分）
不妨設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為2．
則AF=AB₁=2且∠B₁AF=60°，∠B₁AG=∠FAG=60°
得B₁F=2，${B_1}G=FG=\sqrt{3}$．
在△B₁GF中，$cos∠{B_1}GF=\frac{{{B_1}{G^2}+G{F^2}-{B_1}{F^2}}}{{2{B_1}G•GF}}$=$\frac{{{{\sqrt{3}}^2}+{{\sqrt{3}}^2}-{2^2}}}{{2×\sqrt{3×\sqrt{3}}}}=\frac{1}{3}$．
$sin∠{B_1}GH=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．${B_1}H={B_1}G•sin∠{B_1}GH=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
$sin∠{B_1}AH=\frac{{{B_1}H}}{{{B_1}A}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以直線AB₁與平面ADEF所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．   …．（15分）
（方法二）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD為x軸，
過A在平面ADEF內(nèi)作垂直于AD的直線為y軸，
過A作垂直于平面ADEF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為2．則$\overrightarrow{AD}=（4，0，0）$，$\overrightarrow{AF}=（1，\sqrt{3}，0）$，
設(shè)$\overrightarrow{A{B_1}}=（x，y，z）$．
由$\frac{{\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow{AD}}}{{|\overrightarrow{A{B_1}}|•|\overrightarrow{AD}|}}=\frac{x×4}{2×4}=cos60°=\frac{1}{2}$
得x①．
由$\frac{{\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow{AF}}}{{|\overrightarrow{A{B_1}}|•|\overrightarrow{AF}|}}=\frac{{x+\sqrt{3}y}}{2×2}=cos60°=\frac{1}{2}$得$x+\sqrt{3}y=2$②．
又${（\overrightarrow{A{B_1}}）^2}={x^2}+{y^2}+{z^2}=4$③．…．（10分）
由①②③得$x=4，y=\frac{1}{{\sqrt{3}}}，z=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$．所以$\overrightarrow{A{B_1}}=（1，\frac{1}{{\sqrt{3}}}，\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}）$． …．（13分）
取平面ADEF的法向量$\overrightarrow n=（0，0，1）$．$cos\left?{\overrightarrow{A{B_1}}，\overrightarrow n}\right＞=\frac{{\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{A{B_1}}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
所以直線AB₁與平面ADEF所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．           …．（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．