Question

【題目】設函數(shù)，其中是實數(shù)．

(l）若 ，求函數(shù)的單調區(qū)間；

(2）當時，若為函數(shù)圖像上一點，且直線與相切于點，其中為坐標原點，求的值；

(3) 設定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為，若在定義域內恒成立，則稱函數(shù)具有某種性質，簡稱“函數(shù)”．當時，試問函數(shù)是否為“函數(shù)”？若是，請求出此時切點的橫坐標；若不是，清說明理由．

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；（3）是“函數(shù)”， .

【解析】試題分析：（1）求出，分別令和可以得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間．（2）由題設，曲線在處的切線過原點，故 ，整理得到，根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)以及得到．（3）函數(shù)在處的切線方程為： ，

構造函數(shù)

其導數(shù)為分別討論和時的符號以及進一步討論的單調性可知在和上不是“函數(shù)”，故，經檢驗符合．

解析：（1）由，得， （），， 由得： ；由得： ．所以的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為．

（2）由，得， ． ， 所以切線的斜率．又切線的斜率為，所以， ，即，設， ，所以，函數(shù)在(0,＋∞)上為遞增函數(shù)，且是方程的一個解，即是唯一解，所以，．

（3）當時，由函數(shù)在其圖象上一點處的切線方程為 ，

令

設 ，則．

且

當 時， ，則在上有 ，故在上單調遞增，故當有，所以在有；

當 時， ，則在上有 ，故在上單調遞增，故當有，所以在有；

因此，在上 不是“函數(shù)”．

當時， ，所以函數(shù)在上單調遞減．

所以， 時， ， ；

時， ， ．因此，切點為點，其橫坐標為．